Пятиугольник, виды, свойства и формулы

Пятиугольник, виды, свойства и формулы

Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

Применение

Вот несколько вариантов использования угольника Свенсона:

  • как полка с упором в качестве направляющей для распила по прямой;
  • угломер;
  • для нанесения разметки на изделие;
  • как средство торцевания досок;
  • поверхность для переноса линий на заготовку;
  • средство для начертания окружности.

Приложив угольник к деревянному листу, сразу можно провести прямую под любым градусом без дополнительных замеров. Если разметку наносить не нужно, то он может использоваться для проверки правильности измерений.

Профессиональный столярный угольник можно использовать в начале стройки как направляющую для пилы. Ее укладывают на упор, по верхней линии проводят точный разрез.

Плотницкий инструмент применяется для быстрой разметки стропил. Если расположить упор по верхнему краю поверхности, то по стороне катета можно ее торцевать.

Необычный способ использования изобретения Свенсона – рисование окружности выбранного диаметра. Имея под рукой угломер, можно использовать его как обычную линейку.

Пропорции

Центральный угол равен 360 ∘ 65537 ≈ 0,005 ∘ ≈ 0 ∘ 0 ′ 19,775 08888 ″ ><65537>>approx 0<,>005^approx 0^0’19<,>77508888»> .

Внутренний угол равен ( 65537 − 2 ) 65537 ⋅ 180 ∘ ≈ 179,994 5069 ∘ = 180 ∘ − 0,005 4931 ∘ <65537>>cdot 180^approx 179<,>9945069^=180^-0<,>0054931^> .

Наглядное представление

Следующие соображения могут служить для иллюстрации пропорций практически непредставимой фигуры:

  • Отклонение центрального угла от 0°, а также отклонение внутреннего угла от 180° составляет всего лишь примерно 0,005°. Если приподнять за один конец лежащую на земле жердь длиной 104,3 метра только на один сантиметр, то она образует с землёй примерно этот угол.

Рассмотрим треугольник, одной стороной которого является указанная жердь, второй стороной — перпендикуляр, опущенный от приподнятого конца жерди на поверхность, где она лежала, а третьей стороной — отрезок от основания перпендикуляра до покоящегося конца жерди. Считая, что жердь подняли на один сантиметр, найдём, какой длины L она должна быть, чтобы образовать с поверхностью угол α , равный центральному углу правильного 65537-угольника: он будет равен отношению высоты, на которую подняли один край жерди, к углу, который жердь образовала с поверхностью.

L = 10 mm sin ⁡ ( 360 ∘ 65537 ) ≈ 104305 mm ≈ 104 , 3 m

>>

  • Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 см, то его диаметр будет больше 200 м.
  • Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 м, то разница между радиусами его вписанной и описанной окружностей (каждый из которых будет около 10 км) составит всего лишь около 0,024 мм.
  • Если нарисовать 65537-угольник диаметром 20 см , то длина одной его стороны окажется менее одной десятой толщины самого тонкого человеческого волоса.

Нахождение центра дуги окружности

Для нахождения центра дуги окружности нужно выполнить следующие построения: на данной дуге отмечаем четыре произвольные точки А, В, С, D и соединяем их попарно хордами АВ и СD. Каждую из хорд при помощи циркуля делим пополам, получив, таким образом, перпендикуляр, проходящий через середину соответствующей хорды. Взаимное пересечение этих перпендикуляров даёт центр данной дуги и соответствующей ей окружности.

Как разметить острый угол

Гораздо реже возникает надобность в создании острых углов, в частности 45°. Для формирования подобных фигур формулы более сложные, однако это не самое проблематичное. Гораздо сложнее свести все линии, начерченные или натянутые шнурами — дело это непростое. Поэтому я предлагаю использовать упрощенный метод. Сначала размечается прямой угол 90°, а затем диагональ 141,4 делится на нужное количество равных частей. Например, чтобы получить 45°, диагональ нужно поделить пополам и от точки А провести линию через место деления. Таким образом мы получим два угла по 45 градусов. Если поделить диагональ на 3 части, то получится три угла по 30 градусов. Думаю алгоритм вам понятен.

Собственно я рассказал все, что мог рассказать, надеюсь все изложил понятным языком и у вас больше не возникнет вопросов как размечать и проверять прямые углы. Стоит добавить, что уметь делать это должен любой отделочник или строитель, ведь полагаться на строительный угольник небольшого размера — непрофессионально.

Расчет параметров

С помощью соотношений можно легко найти необходимые характеристики любой фигуры. Однако в некоторых источниках не указаны условные обозначения известного параметра пентагона. Это существенно затрудняет понимание формулы, а также ее дальнейшее использование. Перед изучением следует нарисовать фигуру и обозначить некоторые величины, которыми могут быть диагонали, стороны, апофемы и радиусы.

Рекомендуется использовать различные литеры или буквенные обозначения. Недопустимо пронумеровывать вершины, поскольку при вычислениях можно ошибиться. Нельзя использовать вместо букв цифры при обозначениях. Например, пентагон ABCDE является правильной записью. Допускается применение чисел в индексах, а именно, в пятиугольнике правильного типа ABCDE при пересечении его диагоналей образовался пентагон A1B1C1D1E1.

Математики рекомендуют обозначать только промежуточные фигуры или их проекции литерами с индексами. Для каждой новой фигуры следует вводить другие обозначения. Не следует использовать зарезервированные переменные. Например, центр окружности в точке P является недопустимой записью, поскольку такой буквой обозначается периметр.

Условные обозначения

Для нахождения основных величин пентагона следует обозначить некоторые его параметры. Фигура имеет следующие обозначения:

  • Сторона: a.
  • Радиус вписанной и описанной окружностей: r и R соответственно.
  • Площадь: S.
  • Периметр и полупериметр: P и p соответственно.
  • Диагональ: d.
  • Отношение золотого сечения: Ф.

    Значения сторон равны между собой. Площадь правильного пятиугольника — характеристика двумерной фигуры, которая показывает ее размерность. Периметром называется сумма всех 5 сторон. Полупериметр вычисляется по следующему соотношению: p = P / 2. Диагонали — отрезки, проведенные из одной вершины к противоположной (несмежной).

    Соотношения и формулы

    После обозначений следует переходить к рассмотрению основных формул, при помощи которых можно вычислять параметры фигуры. Сторону можно найти, воспользовавшись такими соотношениями:

  • a = 2r * tg(36).
  • a = 2R * sin(36).
  • a = R * [(5 – (5)^(1/2)) / 2]^(1/2).

    Радиус вписанной окружности в пентагон можно найти, используя тригонометрические функции. Однако существует также формула, позволяющая вычислить приближенное значение. Это необходимо в том случае, когда под рукой нет специального онлайн-калькулятора, компьютера или таблиц Брадиса. Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности:

  • r = a / (2tg(36)).
  • r = a * [5^(1/2) * [5 + 2 * 5^(1/2)]^(1/2) / 10].

    Математики также рекомендуют описать вокруг пентагона окружность. Это расширит возможности по поиску его основных характеристик. Однако ее радиус следует вычислить. Формулы для его нахождения выглядят таким образом:

  • R = a / (2sin(36)).
  • R = a * [10^(1/2) * [5 + 5^(1/2)]^(1/2) / 10] = (5^(1/2) – 1) * r.

    Периметр определяется просто: Р = 5а. Значение полупериметра эквивалентно половине периметра, то есть p = P / 2 = 5a / 2 = 2,5a. Площадь можно найти, используя такие формулы:

  • S = (5a^2 / 4) * ctg(36).
  • S = 5r^2 * tg(36).
  • S = 2,5 * R^2 * sin(72).
  • S = (5/12) * R * d.

    Высота правильного пятиугольника (h) — отрезок, проведенный из центра на любую из сторон. Она делит ее на две равные части, поскольку является биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника. У последнего две стороны — радиусы описанной окружности, а третья — сторона пентагона. Высота называется также апофемой и проекцией на «а». Вычисляется ее значение по формуле h = a * tg(72) / 2.

    Читайте также  Кровать необычной формы

    Величина Ф является отношением площади пентагона (S) к площади (S1) правильного пятиугольника, полученного при пересечении диагоналей первого: S / S1 = Ф^4 = 3Ф + 2 = (3 * 5^(1/2) + 7) / 2. Длина диагонали находится по такому соотношению: d = [Ф * 5^(1/2) * R]^(1/2).

    Таким образом, при решении задач необходимо знать основные признаки, свойства, соотношения и формулы для нахождения основных характеристик пентагона. Практика обязательна, поскольку теоретические знания без практического применения бесполезны.

    Построение аксонометрических проекций начинают с проведения аксонометрических осей.

    Положение осей. Оси фронтальной ди-метрической проекции располагают, как показано на рис. 85, а: ось х — горизонтально, ось z — вертикально, ось у — под углом 45° к горизонтальной линии.

    Угол 45° можно построить при помощи чертежного угольника с углами 45, 45 и 90°, как показано на рис. 85, б.

    Положение осей изометрической проекции показано на рис. 85, г. Оси х и у располагают под углом 30° к горизонтальной линии (угол 120° между осями). Построение осей удобно проводить при помощи угольника с углами 30, 60 и 90° (рис. 85, д).

    Чтобы построить оси изометрической проекции с помощью циркуля, надо провести ось z, описать из точки О дугу произвольного радиуса; не меняя раствора циркуля, из точки пересечения дуги и оси z сделать засечки на дуге, соединить полученные точки с точкой О.

    При построении фронтальной диметрической проекции по осям х и z (и параллельно им) откладывают действительные размеры; по оси у (и параллельно ей) размеры сокращают в 2 раза, отсюда и название «диметрия», что по-гречески означает «двойное измерение».

    При построении изометрической проекции по осям х, у, z и параллельно им откладывают действительные размеры предмета, отсюда и название «изометрия», что по-гречески означает «равные измерения».

    На рис. 85, в и е показано построение аксонометрических осей на бумаге, разлинованной в клетку. В этом случае, чтобы получить угол 45°, проводят диагонали в квадратных клетках (рис. 85, в). Наклон оси в 30° (рис. 85, г) получается при соотношении длин отрезков 3 : 5 (3 и 5 клеток).


    Рис. 85. Способы построения осей аксонометрических проекций

    Построение фронтальной диметрической и изометрической проекций. Построить фронтальную диметрическую и изометрическую проекции детали, три вида которой приведены на рис. 86.


    Рис. 86. Комплексный чертеж детали

    Порядок построения проекций следующий (рис. 87):

    1. Проводят оси. Строят переднюю грань детали, откладывая действительные величины высоты — вдоль оси z, длины — вдоль оси х (рис. 87, а).

    2. Из вершин полученной фигуры параллельно оси v проводят ребра, уходящие вдаль. Вдоль них откладывают толщину детали: для фронтальной ди-метрической проекции — сокращенную в 2 раза; для изометрии — действительную (рис. 87, б).

    3. Через полученные точки проводят прямые, параллельные ребрам передней грани (рис. 87, в).

    4. Удаляют лишние линии, обводят видимый контур и наносят размеры (рис. 87, г).

    Сравните левую и правую колонки на рис. 87. Что общего и в чем различие данных на них построений?


    Рис. 87. Способ построения аксонометрических проекций

    Из сопоставления этих рисунков и приведенного к ним текста можно сделать вывод о том, что порядок построения фронтальной диметрической и изометрической проекций в общем одинаков. Разница заключается в расположении осей и длине отрезков, откладываемых вдоль оси у.

    В ряде случаев построение аксонометрических проекций удобнее начинать с построения фигуры основания. Поэтому рассмотрим, как изображают в аксонометрии плоские геометрические фигуры, расположенные горизонтально.

    Построение аксонометрической проекции квадрата показано на рис. 88, а и б.

    Вдоль оси х откладывают сторону квадрата а, вдоль оси у — половину стороны а/2 для фронтальной диметрической проекции и сторону а для изометрической проекции. Концы отрезков соединяют прямыми.


    Рис. 88. Аксонометрические проекции квадрата: а — фронтальная диметрическая; б — изометрическая

    Построение аксонометрической проекции треугольника показано на рис. 89, а и б.

    Симметрично точке О (началу осей координат) по оси х откладывают половину стороны треугольника а/2, а по оси у — его высоту h (для фронтальной диметрической проекции половину высоты h/2). Полученные точки соединяют отрезками прямых.


    Рис. 89. Аксонометрические проекции треугольника: а — фронтальная диметрическая; б — изометрическая

    Построение аксонометрической проекции правильного шестиугольника показано на рис. 90.

    По оси х вправо и влево от точки О откладывают отрезки, равные стороне шестиугольника. По оси у симметрично точке О откладывают отрезки s/2, равные половине расстояния между противоположными сторонами шестиугольника (для фронтальной диметрической проекции эти отрезки уменьшают вдвое). От точек m и n, полученных на оси у, проводят вправо и влево параллельно оси х отрезки, равные половине стороны шестиугольника. Полученные точки соединяют отрезками прямых.


    Рис. 90. Аксонометрические проекции правильного шестиугольника: а — фронтальная диметрическая; б — изометрическая

    Ответьте на вопросы

    1. Как располагают оси фронтальной диметрической и изометрической проекций? Как их строят?

    2. Какие размеры откладывают вдоль осей фронтальной диметрической и изометрической проекций и параллельно им?

    3. Вдоль какой аксонометрической оси откладывают размер уходящих вдоль ребер предмета?

    4. Назовите общие для фронтальной диметрической и изометрической проекций этапы построения.

    Задания к § 13

    Упражнение 40

    Постройте аксонометрические проекции деталей, приведенных на рис. 91, а, б, в — фронтальные диметрические, для деталей на рис. 91, г, д, е — изометрические.

    Размеры определите по числу клеток, считая, что сторона клетки равна 5 мм.

    В ответах дано по одному примеру последовательности выполнения заданий.


    Рис. 91. За типе на построение аксонометрических проекций

    Упражнение 41

    Постройте в изометрической проекции правильные четырехугольную, треугольную и шестиугольную призмы. Основания призм расположены горизонтально, длина сторон основания 30 мм, высота 70 мм.

    В ответах дан пример последовательности выполнения задания.

    Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

    Цель урока: Научить построению прямоугольника на нелинованной бумаге с помощью угольника.

    1. Образовательные:

  • актуализировать прежние знания о прямоугольнике и квадрате;
  • формировать практические навыки построения геометрических фигур, используя знания о них;
  • закрепить навыки решения текстовых задач на пропорциональное деление, сравнения именованных чисел.
  • 2. Развивающие:

  • развивать пространственное воображение учащихся;
  • развивать коммуникативные навыки учащихся в ходе парной работы, способность к взаимоконтролю и самоконтролю.
  • 3. Воспитывающие:

  • воспитывать аккуратность при выполнении построений;
  • пробуждать в ученике чувство гордости за свои личные достижения и успехи своих товарищей.
  • Тип урока: изучение нового материала.

    Форма урока: практическая работа.

    для учащихся: учебник, угольник, лист нелинованной белой бумаги, простой карандаш;

    для учителя: учебник, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

    Ход урока

    1. Организационный момент.

    2. Устный счет.

    Найдите ошибки в вычислениях на доске.

    Правильные ответы: 100 024; 12 548; 6 504.

    Проверка квадратов на нелинованной бумаге. (Показать на доске способ построения квадрата с помощью циркуля и линейки.)

    Читайте также  Какие цветы посадить чтобы цвели все лето

    – Какие знания о квадрате помогли справиться с построением? (Диагонали квадрата равны, пересекаются, образуя четыре прямых угла.)

    – На прошлом уроке мы с вами научились строить прямоугольник с помощью циркуля и линейки. Вспомните, пожалуйста, что это за геометрическая фигура – прямоугольник. (Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.)

    – Что еще вы знаете о прямоугольнике? (Противоположные стороны равны. Диагонали равны.)

    – Эти знания пригодятся нам сегодня.

    СЛАЙД 1. Объявление темы урока: “Построение прямоугольника на нелинованной бумаге”.

    – Какие инструменты понадобятся для практической работы? (Угольник, карандаш)

    СЛАЙД 2. Цель: Научиться построению прямоугольника на нелинованной бумаге с помощью угольника.

    СЛАЙД 3. Задачи: 1. Формировать практические навыки построения геометрических фигур, используя знания о них.

    2. Развивать пространственное воображение.

    3. Воспитывать аккуратность при выполнении построений.

    СЛАЙД 4. Алгоритм построения прямоугольника с помощью угольника.

    СЛАЙД 5. Начертили произвольный луч АД. Одну из сторон угольника приложили к лучу так, чтобы вершина прямого угла совпала с началом луча точкой А. Провели карандашом вдоль второй стороны угольника луч АВ. Получили один прямой угол ВАД.

    СЛАЙД 6. Одну из сторон угольника приложили к лучу АВ так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой В. Провели карандашом вдоль второй стороны угольника луч ВС. Получили второй прямой угол АВС.

    СЛАЙД 7. Одну из сторон угольника приложили к лучу АД так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой Д. Провели карандашом вдоль второй стороны угольника луч ДС. Получили третий прямой угол АДС.

    СЛАЙД 8. Перед учащимися ставится проблемный вопрос – получился ли прямоугольник.

    Ученики высказывают свои предположения и предлагают способы решения этой проблемы.

    СЛАЙД 9. Проверка предположений учащихся.

    Нужно выяснить, окажется ли угол ВСД прямым. Если да, то прямоугольник получился (так как по определению прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые). Если нет, то фигура АВСД – не прямоугольник.

    Проверка проводится с помощью угольника. Одну из его сторон нужно приложить к лучу ВС так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой С. Далее смотрим, совпал ли луч СД со второй стороной угольника. В нашем случае это произошло, то есть можно сделать вывод, что угол ВСД прямой и четырехугольник АВСД является прямоугольником.

    Дальнейшая самостоятельная работа учащихся по построению прямоугольника на нелинованной бумаге с помощью угольника на материале алгоритма презентации предполагает возвращение к слайдам 4-9 (используя гиперссылку).

    Учитель в это время контролирует процесс построения и оказывает индивидуальную помощь учащимся.

    7. Работа с учебником.

    – Откройте учебник на стр.7. Задание №33. (Работа по вариантам. У доски 2 учащихся.)

    – Какие величины нужно будет нам вспомнить? (Массу и время.)

    -Сравните именованные числа.

    (6 км 5 м = 6 км 50 дм 2 сут.20 ч = 68 ч
    3 т 1 ц > 3 т 10 кг 90 см 2 2 )

    Проверяют 2 учащихся. За партами – взаимопроверка.

    – Задание 34. Вычислите значение первого выражения. У доски 1 учащийся.

    (100 000 – 62 600) : 4 + 3 • 108 = 9 674

    Проверяет 1 учащийся.

    – Задание 30. На доске подготовлена таблица для краткой записи. Заполняем все вместе. Как назовем столбики таблицы? (На 1 стр./Кол-во стр./Всего)

    14. Набор направляющих

    Функциональный комплект, который пригодится для быстрого и точного сверления отверстий под шканты в торцах и на плоскости заготовок. Направляющие в шаблоне позволяют чётко спозиционировать детали между собой и достичь высокой точности сборки. Помимо оснастки для шкантов, есть насадки для монтажа эксцентриковых стяжек (минификсов). В комплект включено всё необходимое, в том числе свёрла и параллельный упор.

    Цена: от 3 618 рубей.