Формула жесткости пружины

Формула жесткости пружины

Силу, которая возникает в результате деформации тела и пытающаяся вернуть его в исходное состояние, называют силой упругости.

Чаще всего ее обозначают $>_$. Сила упругости появляется только при деформации тела и исчезает, если пропадает деформация. Если после снятия внешней нагрузки тело восстанавливает свои размеры и форму полностью, то такая деформация называется упругой.

Современник И. Ньютона Р. Гук установил зависимость силы упругости от величины деформации. Гук долго сомневался в справедливости своих выводов. В одной из своих книг он привел зашифрованную формулировку своего закона. Которая означала: «Ut tensio, sic vis» в переводе с латыни: каково растяжение, такова сила.

Рассмотрим пружину, на которую действует растягивающая сила ($overline$), которая направлена вертикально вниз (рис.1).

Силу $overline$ назовем деформирующей силой. От воздействия деформирующей силы длина пружины увеличивается. В результате в пружине появляется сила упругости ($>_u$), уравновешивающая силу $overline$. Если деформация является небольшой и упругой, то удлинение пружины ($Delta l$) прямо пропорционально деформирующей силе:

где в коэффициент пропорциональности называется жесткостью пружины (коэффициентом упругости) $k$.

Жесткость (как свойство) — это характеристика упругих свойств тела, которое деформируют. Жесткость считают возможностью тела оказать противодействие внешней силе, способность сохранять свои геометрические параметры. Чем больше жесткость пружины, тем меньше она изменяет свою длину под воздействием заданной силы. Коэффициент жесткости — это основная характеристика жесткости (как свойства тела).

Коэффициент жесткости пружины зависит от материала, из которого сделана пружина и ее геометрических характеристик. Например, коэффициент жесткости витой цилиндрической пружины, которая намотана из проволоки круглого сечения, подвергаемая упругой деформации вдоль своей оси может быть вычислена как:

где $G$ — модуль сдвига (величина, зависящая от материала); $d$ — диаметр проволоки; $d_p$ — диаметр витка пружины; $n$ — количество витков пружины.

Единицей измерения коэффициента жесткости в Международной системе единиц (Си) является ньютон, деленный на метр:

Коэффициент жесткости равен величине силы, которую следует приложить к пружине для изменения ее длины на единицу расстояния.

Какую жесткость имеет пружина

При выборе готовых пружин, например для подвески автомобиля, определить, какую жесткость она имеет, можно по коду продукта либо по маркировке, которая наносится краской. В остальных случаях расчет жесткости производится исключительно экспериментальными методами.

Жесткость пружины по отношению к деформации бывает величиной переменной или постоянной. Изделия, жесткость которых при деформации остается неизменной называются линейными. А те, у которых есть зависимость коэффициента жесткости от изменения положения витков, получили название «прогрессивные».

В автомобилестроении в отношении подвески существует следующая классификация жесткости пружин:

  • Возрастающая (прогрессирующая). Характерна для более жесткого хода автомобиля.
  • Уменьшающаяся (регрессирующая) жесткость. Напротив, обеспечивает, «мягкость» подвески.

Определение величины жесткости зависит от следующих исходных данных:

  • Тип сырья, используемый при изготовлении;
  • Диаметр витков металлической проволоки (Dw);
  • Диаметр пружины (в расчет берется средняя величина) (Dm);
  • Число витков пружины (Na).

Расчет пружины растяжения в MS Excel.

Предлагаемая вашему вниманию программа является адаптированным вариантом программы расчета пружины сжатия, которую вы найдете по ссылке в начале статьи.

Если заданные вами значения параметров будут ошибочными, программа подскажет, что следует сделать, выдав соответствующие рекомендации в строках со светло-зеленой заливкой.

Ниже представлены скриншот программы и формулы для цилиндрической стальной пружины растяжения из круглой проволоки с зацепами в виде отогнутых крайних витков (как показано на рисунке выше).

Внимание.

После выполнения расчета по программе выполняйте проверку касательных напряжений.

3. I =( D1 / D ) -1

4. C1 =(78500* D )/(8* I 3 )

6. S3 =tg ( A )*π*( D1 — D )— D

7. F3 = C1 * S3

10. Nрасч =( L2 —2* D 1 +3* D )/( D + F2 / C1 )

12. C = C1 / N

13. L = N * D +2* D1 -3* D

14. L3 = L + N * S3

15. F2 = C * L2 C * L

17. F1 = C * L1 C * L

18. Lразв π*( N +1,7)*( D1 D )/cos ( A )

19. Q = (π* D 2 /4)* Lразв *7,85/10 6

Расчет пружины растяжения выполнен. Никогда не растягивайте пружину больше допустимой длины L3 ! При игнорировании этого правила вы испортите пружину, и останется только выкинуть ее в металлолом.

Всегда интересны ваши мнения, оставленные в комментариях.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Ссылка на скачивание файла с программой: raschet-pruzhiny-rastyazheniya (xls 131KB).

Статьи с близкой тематикой

  • 3D-моделирование в SolveSpace
  • Расчет звездочки цепной передачи
  • Эксцентриковый зажим
  • Реечная передача
  • Жесткость пружины

Отзывы

25 комментариев на «Расчет пружины растяжения»

    Володя 01 Июл 2015 00:18

Мне нравится ваши оформления в программе Ексель. Хотелось бы в ближайшем будущем получить полный расчет зубчатых конических передач с круговыми и прямыми зубьями (I,II,III форм зуба) буду благодарен. С уважением ваш пользователь программ инженер-конструктор Логинов Владимир Иванович!

Спасибо Александр. Хочу спросить Вас. А почему Вы ( что в первой статье, что во второй)совсем не затрагиваете вопрос термообработки пружины? Ведь это на прямую влияет на жесткость!

Хасан Захарович, я не касаюсь вопросов термообработки только потому, что сила пружины зависит от геометрии витка и модуля сдвига материала, величина которого принимается за константу. Конечно, материал пружины должен обладать высокой упругостью и не допускать возникновения пластических деформаций во всем рабочем диапазоне перемещений, а это обеспечивается химическим составом и режимами закалки и отпуска.

Да,да,Александр. Я все понял. Спасибо. Ждем новых статей .

Тысяча благодарностей за Ваши замечательные работы.

С наилучшими пожеланиями здоровья и дальнейших творческих успехов.

Я в восторге от Вашего сайта, начиная с короткого al-vo.

Спасибо, что существует интернет и в нём такие люди как Вы.

Спасибо за такую прогу , но есть вопросм , мне необходимо рассчитать титановую пружину , а данная прога не дает возможности менять модуль сдвига . Было бы хорошо если бы такая опция появилась

Виталик, в ячейке C6 вычисляется жесткость витка пружины:

78500 — это значение модуля сдвига пружинной стали в МПа.

Впишите в формулу вместо 78500 значение для используемого Вами материала и всё.

(Если ячейки защищены (не помню), то: Сервис — Защита — Снять защиту с листа. Пароля нет.)

Огромное Вам спасибо Александр. Благодаря вам сэкономил время и нервы. Сайт отличный. Всего самого хорошего.

Спасибо за калькулятор!

В принципе все понятно и просто.

Но, вводя в другие калькуляторы те же значения, не могу прийти к двум (даже приблизительно) одинаковым результатам. Я уже использую пружины растяжения (кстати мои пружины полностью соответствуют Расчётам у Вас; нагрузки не проверял), но т.к. они работают в агрессивной среде и температурах около 60-100 град, выходят из строя не прослужив и года — менее 52 недельных циклов.

Хочу проверить себя, но как?

С уважением, Александр

Не знаю, как помочь Вам, Александр. Как Ваши пружины могут «полностью соответствовать моим расчетам», если Вы «нагрузки не проверяли»?

Нагрузки по факту, приборного контроля не было

Подскажите, не могу расчитать пружину растяжения на которой висит 6 кг. ее длинна (с ушками) и весом на ней — 160 мм. диаметр 60-90 мм. пружину с грузом постоянно растягивают пресом до длинны 300-310 мм. ее задача вернуть данные 6 кг в первоначальное положение-160 мм. в расчетах выходят сильно большие длины пружины. (

Читайте также  В спецификации стандартные изделия записываются

Без изменения формы зацепов и увеличения размеров такую пружину сделать, наверное, нельзя. Если диаметр 90мм, то длина пружины будет уже больше 180мм. И очень большой ход — 150мм.

Программа супер, но , как на меня, не хватает второго варианта с вводом исходных данных F1 (кроме L1, F2,L2, D,D1, N) ведь за частую на данной пружине уже предполагается исходная награзка( весит какой-либо груз или имеется натяжение)

Михаил, используйте СЕРВИС — ПОДБОР ПАРАМЕТРА — . и будет у Вас и второй и любой другой вариант.

Очень полезная информация.

Спасибо! Реально помогает в самодельщине.

Спасибо за большую работу. Такой расчет пружины растяжения очень удобен в использовании.

Во-первых огромное спасибо за Ваши труды! стольким людям это помогает и сделать работу и понять смысл!

Не могли бы Вы немного разъяснить, в одном из комментариев к расчету пружины сжатия Вы написали, что всегда пытались заменить пружину растяжения пружиной сжатия по «ряду причин». Можно в двух словах — какие причины?

Причины банальны. Пружина растяжения занимает в механизме гораздо больше места чем пружина сжатия. Зацепы при неправильном закреплении часто деформируются и вообще требуют к себе особого отношения, усложняющего узел. При значительных скоростях сжатия-разжатия часто применение пружин растяжения вообще невозможно.

Здравствуйте, Александр. Подскажите, всегда ли в пружинах растяжения образуется предварительный натяг при навивке.

Денис, добрый день.

Не всегда. Можно ведь навить пружину растяжения с шагом превышающим диаметр проволоки.

Вычисление коэффициента жесткости опытным методом

С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука. Для проведения эксперимента понадобятся:

  • линейка;
  • пружина;
  • груз с известной массой.

Последовательность действий для опыта такова:

  1. Необходимо закрепить пружину вертикально, подвесив ее к любой удобной опоре. Нижний край должен остаться свободным.
  2. При помощи линейки измеряется ее длина и записывается как величина x1.
  3. На свободный конец нужно подвесить груз с известной массой m.
  4. Длина пружины измеряется в нагруженном состоянии. Обозначается величиной x2.
  5. Подсчитывается абсолютное удлинение: x = x2-x1. Для того чтобы получить результат в международной системе единиц, лучше сразу перевести его из сантиметров или миллиметров в метры.
  6. Сила, которая вызвала деформацию, — это сила тяжести тела. Формула для ее расчета — F = mg, где m — это масса используемого в эксперименте груза (переводится в кг), а g — величина свободного ускорения, равная приблизительно 9,8.
  7. После проведенных расчетов остается найти только сам коэффициент жесткости, формула которого была указана выше: k = F/x.

Закон Гука

При упругой деформации есть взаимосвязь между силой упругости, возникающей в результате деформации, и удлинением деформируемого тела. Эту взаимосвязь первым обнаружил английский ученый Роберт Гук.

Модуль силы упругости, возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению.

x — абсолютное удлинение (деформация), k — коэффициент жесткости тела.

Абсолютное удлинение определяется формулой:

l — начальная длина тела, l — длина деформированного тела, ∆l — изменение длины тела.

Коэффициент жесткости тела определяется формулой:

E — модуль упругости (модуль Юнга). Каждое вещество обладает своим модулем упругости. S — площадь сечения тела.

Важно! Закон Гука не работает в случае, если деформация была пластической.

Пример №1. Под действием силы 3Н пружина удлинилась на 4 см. Найти модуль силы, под действием которой удлинение пружины составит 6 см.

Согласно третьему закону Ньютона модуль силы упругости будет равен модулю приложенной к пружине силе. В обоих случаях постоянной величиной окажется только жесткость пружины. Выразим ее из закона Гука и применим к каждому из случаев:

Приравняем правые части формул:

Выразим и вычислим силу упругости, возникающую, когда удлинение пружины составит 6 см:

Жесткость пружины. Как рассчитать.

Измерение параметров жесткости пружин разных типов

При производстве на предприятии и для применения необходимо определить способность пружины выдерживать определенные типы нагрузок. Для этого высчитывается т.н. коэффициент Гука – обозначение жесткости пружины, от которого зависит её надёжность. На этот параметр влияет материал, выбранный для изготовления. Это может быть сталь, легированная кремнием, ванадием, марганцем, другими добавками. Также применяются нержавейка, бериллиевая и кремнемарганцевая бронза, сплавы на основе никеля и титана.

Если деталь выпускается для применения при высоких нагрузках, экстремальных температурах, используются специальные марки легированной стали. Нижегородская метизная корпорация имеет возможность производить пружины под заказ, создавая изделия с заданными характеристиками.

Что такое жесткость?

Говоря о практике, а не физических терминах, это сила, приложив которую, можно сжать пружину. Если вы знаете прилагаемое усилие, можно определить, какой будет деформация, и наоборот. Это существенно облегчает вычисления.

Коэффициент высчитывается для пружин кручения, растяжения, изгиба, сжатия – всех наиболее популярных в промышленности разновидностей этого изделия. Также следует отметить два основных типа:

  • С линейной (постоянной) жесткостью;
  • С прогрессивной (зависящей от положения витков) жесткостью.

Часто производитель наносит на готовую продукцию пометку краской. Если такого обозначения нет, применяется формула определения жесткости пружины через массу и длину, упрощающая задачу. Она изначально разрабатывалась для пружин растяжения, была получена методом измерения соответствия массы грузы с изменениями геометрии.

Также данный параметр может быть прогрессирующим – растущим — или регрессирующим – убывающим. Во втором случае параметр «жесткости» принято называть «мягкостью». В отдельных механизмах, например, в автомобилестроении, этот параметр особенно актуален.

Какие вводные данные требуются?

При расчёте важно знать следующую информацию:

  • Из какого материала выполнено изделие;
  • Точный диаметр витков – Dw;
  • Общий диаметр самой пружины – Dm;
  • Количество витков – Na.

Таким образом, к коэффициенту жесткости пружинного механизма может применяться формула:

k=G*(Dw)^4/8 * Na * (Dm)^3.

Переменная G означает модуль сдвига. Это значение можно найти в таблицах для разных материалов. К примеру, у пружинной стали G=78,5 ГПа.

Далее разберемся, как определить жесткость пружины по формуле:

Длина L бывает двух типов:

  • L1 – измеренная в вертикальном положении без груза;
  • L2 – полученная при подвешивании груза с точно известной массой.

Например, 100-граммовая гиря, закреплённая в нижней части, воздействует с силой F, равной 1 Н. Получаем разницу между двумя показателями длины:

При этом следует уточнить, что степень жесткости не определяет распрямление в исходное состояние. На него воздействуют сразу несколько факторов.

Насколько важен показатель, и на что он влияет?

Характеристики пружины важны не только для соответствия ГОСТам и проведения сертификации. Они влияют на сроки эксплуатации изделий, в которых используются, а это огромное количество приборов, деталей, механизмов, от мебели, до различных транспортных средств.

Поэтому данная величина напрямую влияет на надёжность готовых изделий, оборудования, техники, в которых используются элементы, содержащие пружины.

Часто люди интересуются, как рассчитать жесткость пружины цилиндрической винтовой. Для таких случаев учитывается не только модуль сдвига, но и параметр Rs – напряжение, допускаемое при кручении. Здесь в расчёт берётся тип материала, его физические свойства, механические характеристики.

Следующий вопрос – в чем измеряется коэффициент жесткости пружины при расчётах. Традиционно в системе измерений, принятой в нашей стране принято записывать значение в Н/м – ньютонах на один метр. Также это значение в качестве альтернативного варианта может записываться в килограммах на квадратный сантиметр, дин/см, граммах на квадратный сантиметр (расчёты в системе СГС).

Читайте также  Мощность паяльника

Упругие свойства пружин используются в приборах для измерения силы. Обычно динамометр состоит из двух основных частей: пружины (упругий элемент) и шкалы устройства, на которой нанесены цифровые значения силы или массы, если этот прибор предназначен для бытового применения. Измеряемое усилие прикладывается к пружине, которая деформируется и сдвигает стрелку прибора вдоль отсчетной шкалы.

Рис. 3. Пружинные динамометры.

Хотя закон Гука и считается универсальным, но диапазон деформаций в котором он выполняется сильно отличается для разных тел. Например, в металлических проволоках (прямолинейных) и стержнях максимальная величина относительной деформации (отношение Δх к L), для которой еще будет справедлив закон Гука, составляет не более 1%. При больших деформациях наступают необратимые разрушения материалов.

Деформация.

Силы упругости возникают при деформациях тел. Деформация — это изменение формы и размеров тела. К деформациям относятся растяжение, сжатие, кручение, сдвиг и изгиб.
Деформации бывают упругими и пластическими. Упругая деформация полностью исчезает после прекращения действия вызывающих её внешних сил, так что тело полностью восстанавливает форму и размеры. Пластическая деформация сохраняется (быть может, частично) после снятия внешней нагрузки, и тело уже не возвращается к прежним размерам и форме.

Частицы тела (молекулы или атомы) взаимодействуют друг с другом силами притяжения и отталкивания, имеющими электромагнитное происхождение (это силы, действующие между ядрами и электронами соседних атомов). Силы взаимодействия зависят о расстояний между частицами. Если деформации нет, то силы притяжения компенсируются силами отталкивания. При деформации изменяются расстояния между частицами, и баланс сил взаимодействия нарушается.

Например, при растяжении стержня расстояния между его частицами увеличиваются, и начинают преобладать силы притяжения. Наоборот, при сжатии стержня расстояния между частицами уменьшаются, и начинают преобладать силы отталкивания. В любом случае возникает сила, которая направлена в сторону, противоположную деформации, и стремится восстановить первоначальную конфигурацию тела.

Сила упругости — это сила, возникающая при упругой деформации тела и направленная в сторону, противоположную смещению частиц тела в процессе деформации. Сила упругости:

1. действует между соседними слоями деформированного тела и приложена к каждому слою;
2. действует со стороны деформированного тела на соприкасающееся с ним тело, вызывающее деформацию, и приложена в месте контакта данных тел перпендикулярно их поверхностям (типичный пример — сила реакции опоры).

Силы, возникающие при пластических деформациях, не относятся к силам упругости. Эти силы зависят не от величины деформации, а от скорости её возникновения. Изучение таких сил
выходит далеко за рамки школьной программы.

В школьной физике рассматриваются растяжения нитей и тросов, а также растяжения и сжатия пружин и стержней. Во всех этих случаях силы упругости направлены вдоль осей данных тел.

Расчет цилиндрических винтовых пружин

В технике наиболее распространены цилиндрические винтовые пружины из стали круглого поперечного сечения, работающие на растяжение или сжатие. Покажем порядок расчета такой пружины, имеющей небольшой угол подъема витков ( α ≤1 5°).

В качестве примера рассмотрим цилиндрическую винтовую пружину с диаметром D винтовой оси, диаметром d проволоки, числом витков n , сжимаемую силой F (рис. 5) .

Для определения внутренних силовых факторов применим известный нам метод сечений. Рассечем пружину плоскостью, проходящей через ось, и отбросим нижнюю часть пружины. Ввиду того, что угол α подъема витков мал, будем считать сечение витка поперечным, т. е. кругом диаметром d .

Рассматривая равновесие верхней части пружины (рис. 6) , видим, что в поперечном сечении витка возникают два внутренних силовых фактора:
— поперечная сила Q = F
— крутящий момент МКР = FD / 2 .
Отсюда следует, что в поперечном сечении витка пружины действуют только касательные напряжения сдвига и кручения.

Будем считать, что напряжения сдвига распределены по сечению равномерно, а напряжения кручения определяются, как при кручении прямого кругового цилиндра.
Эпюры распределения напряжений сдвига и кручения, а также эпюра суммарных напряжений в точках горизонтального диаметра сечения представлены на рис. 6 .

Из суммарной эпюры видно, что наибольшие касательные напряжения возникают в точке В , ближайшей к оси пружины:

τmax = τсдв + τкр = Q / S + Мкр / Wр = F / (πD 3 / 4) + (FD / 2) / πd 3 / 16) ,

τmax = (8FD / πd 3 ) / (d / 2D + 1) .

Если пружина имеет относительно большой средний диаметр и изготовлена из относительно тонкой проволоки, то первое слагаемое в скобках (соответствующее напряжению сдвига) значительно меньше единицы и в практических расчетах им можно пренебречь; тогда:

Для приближенного расчета цилиндрических пружин на прочность применяется формула:

Поскольку пружины обычно изготавливают из высококачественной стали, допускаемое напряжение принимают равным в пределах [τ] = 200….1000 МПа.

Расчет осадки цилиндрической пружины

Далее выведем формулу для определения уменьшения высоты (осадки) λ пружины. Для этого мысленно разобьем пружину на бесконечно малые участки длиной dl , которые ввиду малости длины будем считать прямолинейными, и учитывая только потенциальную энергию деформации кручения, получим:

где l = πDn длина проволоки пружины.

Работа силы F , приложенной к пружине статически, будет равна W = Fλ / 2 .
Так как W =U , то Мкр = FD / 2 , следовательно Ip = πd 4 / 32 , тогда получаем:

Fλ / 2 =[(Fλ / 2) 2 πDn] / (2G πd 4 / 32) , откуда: λ = 8 FD 3 n / (Dd 4 ) .

Эту формулу можно записать в таком виде:
λ = F / С ,
где: С = Gd 4 / 8D 3 n – коэффициент жесткости пружины.
При λ = 1, С = F , поэтому коэффициент жесткости численно равен силе, вызывающей осадку, равную единице длины.
Отношение среднего диаметра витков к диаметру проволоки обозначают Сn и называют индексом пружины :

Обычно индекс пружин равен Сn = 4….12 .

При более точных расчетах винтовых пружин учитывают кривизну их витков и вводят в числитель формулы (1) поправочный коэффициент К ≈ 1 + 1,45 / Cn .

Пример расчета цилиндрической пружины

Определить диаметр проволоки стальной пружины, если под действием силы F = 800 Н ее осадка λ = 39 мм.
Индекс пружины Сn = 6, число витков n = 14.
Модуль упругости стали пружины G = 8 х 10 4 Мпа, допускаемое напряжение [τ] = 450 МПа.

Решение.

Используя формулу для определения индекса пружины Сn = D / d , получим: D = Сn d . Подставляем это значение D в формулу для определения осадки пружины:

λ = 8 FD 3 n / (Dd 4 ) = 8 FD 3 n / (Gd 4 ) = 8 F Сn 3 d 3 n / (Gd 4 ), откуда найдем d и после подстановки числовых значений получим:

d = 8 F Сn 3 n / λ G = 8 х 800 х 106 х 14 / 39 х 10 -3 х 8 х 104 х 106 = 7 х 10 -3 м = 7 мм.

Итак, диаметр проволоки цилиндрической пружины должен быть не менее 7 мм, а средний диаметр самой пружины D = Сn d = 6 х 7 = 42 мм.